【題目】如圖,在菱形中,,平面,,是線段的中點(diǎn),.

(1)證明:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】試題分析:(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接MO可證明平面、平面,從而可得平面平面,進(jìn)而可得平面;(2)取的中點(diǎn)為,連接,則,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量,利用向量垂直數(shù)量積為零解方程組求出平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析:(1)設(shè)的交點(diǎn)為,連接.因?yàn)?/span>,平面,所以平面.

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn),所以的中位線,所以.

,所以平面

所以,平面平面.

平面.

(2)取的中點(diǎn)為,連接,則.

為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.取,則,,,.

所以,.

設(shè)平面的法向量,則,即,解得.

可取法向量.

,則

故直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.

練習(xí)冊系列答案
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A. 捕食者和被捕食者數(shù)量與時(shí)間以年為周期

B. 由圖可知,當(dāng)捕食者數(shù)量增多的過程中,被捕食者數(shù)量先增多后減少

C. 捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系可以用圖1乙描述

D. 捕食者的數(shù)量在第年和年之間數(shù)量在急速減少

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