【題目】如圖,在菱形中,,平面,,是線段的中點(diǎn),.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析.
(2) .
【解析】試題分析:(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接MO可證明平面、平面,從而可得平面平面,進(jìn)而可得平面;(2)取的中點(diǎn)為,連接,則,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量,利用向量垂直數(shù)量積為零解方程組求出平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.
試題解析:(1)設(shè)與的交點(diǎn)為,連接.因?yàn)?/span>,平面,所以平面.
因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn),所以是的中位線,所以.
又,所以平面
所以,平面平面.
故平面.
(2)取的中點(diǎn)為,連接,則.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.取,則,,,.
所以,.
設(shè)平面的法向量,則,即,解得.
可取法向量.
又,則
故直線與平面所成角的正弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2﹣4x+3=0,過原點(diǎn)的直線l與圓C有公共點(diǎn).
(1)求直線l斜率k的取值范圍;
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn),求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)。
(1)若函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)使得最小值為0,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(多選題)對任意實(shí)數(shù),,,下列命題中正確的是( )
A.“”是“”的充要條件
B.“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件
C.“”是“”的充分條件
D.“”是“”的必要條件
E.“”是“”的必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最值;
(2)若,當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求此時(shí)實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖甲中的兩條曲線分別表示某理想狀態(tài)下捕食者和被捕食者數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律、對捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系描述錯(cuò)誤的是( )
A. 捕食者和被捕食者數(shù)量與時(shí)間以年為周期
B. 由圖可知,當(dāng)捕食者數(shù)量增多的過程中,被捕食者數(shù)量先增多后減少
C. 捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系可以用圖1乙描述
D. 捕食者的數(shù)量在第年和年之間數(shù)量在急速減少
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.
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