Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）滿足：2f（x）+xf′（x）＞x²，則f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)（　�。�

• A、沒有零點
• B、恰有一個零點
• C、至少一個零點
• D、至多一個零點

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：可構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：令g（x）=x²f（x），則g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）滿足：2f（x）+xf′（x）＞x²，
∴xg′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x³＞0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞0，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)只有一個零點為x=0．
故選B．

點評：本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)法判斷函數(shù)零點的知識，合理的構(gòu)造函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．