Question

有一種商品A、B兩地都有出售，且兩地的價(jià)格相同，但是某地區(qū)的居民從兩地往回運(yùn)時(shí)，每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地的3倍．已知A、B兩地的距離是10千米．顧客購(gòu)買這種商品，選擇從A地或者B地買的標(biāo)準(zhǔn)是，包括運(yùn)費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用比較便宜．求A地的購(gòu)物影響區(qū)域的面積（某地的購(gòu)物影響區(qū)域是指選擇到該地購(gòu)買商品的地區(qū)）．

Answer 1

分析：首先要建立以A或B為中心的購(gòu)買區(qū)域，因?yàn)槊繂挝痪嚯xA地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍，因此，顧客所在地到A地距離是到B地距離的

1

3

，以此為等量關(guān)系，所以滿足此條件的范圍應(yīng)為某區(qū)域，由此可得結(jié)論．

解答：解：以A、B所確定的直線為x軸，A、B中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，
則A（-5，0）、B（5，0）．
設(shè)某地P的坐標(biāo)為（x，y），且P地居民選擇A地購(gòu)買商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/km．
價(jià)格+x_A地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格+x_B地運(yùn)費(fèi)，所以3a

(x+5)2+y2

≤a

(x-5)2+y2

因?yàn)閍＞0，所以3

(x+5)2+y2

≤

(x-5)2+y2

兩邊平方，得9（x+5）²+9y²≤（x-5）²+y²，即（x+

25

4

）²+y²≤（

15

4

）²．
所以，以點(diǎn)C（-

25

4

，0）為圓心、

15

4

為半徑的圓是這兩地購(gòu)貨的分界線．
∴A地的購(gòu)物影響區(qū)域的面積為(

15

4

)2=

225

16

π平方公里．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．