Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，CC₁上的點，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求異面直線EF與A₁D所成角的余弦值；
（2）證明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在空間坐標系中計算出兩個直線的方向向量的坐標，由數(shù)量公式即可求出兩線夾角的余弦值．
（2）在平面中找出兩條相交直線來，求出它們的方向向量，研究與向量

AF

內積為0即可得到線面垂直的條件．
（3）兩個平面一個平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一個平面的法向量，然后根據(jù)求求二面角的規(guī)則求出值即可．

解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設AB=1，依題意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）．
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4）．
于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

．
所以異面直線EF與A₁D所成角的余弦值為

3

5

．
（2）證明：連接ED，易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0．
因此，AF⊥EA₁，AF⊥ED．
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED．
（3）設平面EFD的一個法向量為u=（x，y，z），則

u •  EF =0 u • ED =0

即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．
由（2）可知，

AF

為平面A₁ED的一個法向量．
于是cos＜u，

AF

＞=

u • AF

| u || AF |

=

2

3

，從而sin＜u，

AF

＞=

5

3

．
二面角A₁-ED-F的正弦值是

5

3

點評：本題考查用向量法求異面直線所成的角，二面角，以及利用向量方法證明線面垂直，利用向量法求異面直線所成的角要注意異面直線所成角的范圍與向量所成角的范圍的不同．