已知O為坐標原點,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點,點P滿足

(Ⅰ)證明:點P在C上;

(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上.

【思路點撥】方程聯(lián)立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路,注意把用坐標表示后求出P點的坐標,然后再結合直線方程把P點的縱坐標也用A、B兩點的橫坐標表示出來。從而求出點P的坐標代入橢圓方程驗證即可證明點P在C上。(II)此問題證明有兩種思路:思路一:關鍵是證明互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可,再求正切值時要注意利用倒角公式。

思路二:根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上,所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心N,然后證明N到四個點A、B、P、Q的距離相等即可.

【精講精析】 (I)設

直線,與聯(lián)立得

,

所以點P在C上。

(II)法一:

同理

所以互補,

因此A、P、B、Q四點在同一圓上。

法二:由和題設知,,PQ的垂直平分線的方程為…①

設AB的中點為M,則,AB的垂直平分線的方程為…②

由①②得、的交點為

,

,,

.

所以A、P、B、Q四點在同一圓圓N上.

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精英家教網(wǎng)已知O為坐標原點,F(xiàn)為橢圓C:x2+
y2
2
=1
在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點,點P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0

(Ⅰ)證明:點P在C上;
(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上.

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OA
AF
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(1,2)或(1,-2)
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已知O為坐標原點,F(xiàn)為橢圓C:在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點,點P滿足。
(1)證明:點P在C上;
(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上。

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