Question

13．求實數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x²-mx-m+3=0分別滿足下列條件：
（1）一根大于1，一根小于1；
（2）兩根都小于5；
（3）一根在（0，1），一根在（1，2）；
（4）兩根都在[-4，0]；
（5）一根小于0，一根大于2．

Answer 1

分析 （1）若一根大于1，一根小于1，則f（1）=1-2m+3＜0，解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）兩根都小于5，則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\ \frac{m}{2}＜5\\ f（5）=25-6m+3＞0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍；
（3）一根在（0，1），一根在（1，2），則$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-m+3＞0\\ f（1）=1-2m+3＜0\\ f（2）=4-3m+3＞0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍；
（4）兩根都在[-4，0]，則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\-4≤\frac{m}{2}≤0\\ f（-4）=16+3m+3＞0\\ f（0）=-m+3＞0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍；
（5）一根小于0，一根大于2，則$\left\{\begin{array}{l}f（2）=4-3m+3＜0\\ f（0）=-m+3＜0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x²-mx-m+3，則函數(shù)的圖象是開口朝上的拋物線，
（1）若一根大于1，一根小于1，
則f（1）=1-2m+3＜0，
解得：m＞2；
（2）若兩根都小于5，
則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\ \frac{m}{2}＜5\\ f（5）=25-6m+3＞0\end{array}\right.$
解得：m＜-6，或2$＜m＜\frac{14}{3}$；
（3）若一根在（0，1），一根在（1，2）；
則$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-m+3＞0\\ f（1）=1-2m+3＜0\\ f（2）=4-3m+3＞0\end{array}\right.$，
解得：2＜m＜$\frac{7}{3}$，
（4）若兩根都在[-4，0]，
則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}+4m-12＞0\\-4≤\frac{m}{2}≤0\\ f（-4）=16+3m+3＞0\\ f（0）=-m+3＞0\end{array}\right.$
解得：$-\frac{19}{3}＜m＜-6$；
（5）一根小于0，一根大于2，
則$\left\{\begin{array}{l}f（2）=4-3m+3＜0\\ f（0）=-m+3＜0\end{array}\right.$
解得：m＞3．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．