Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，試寫出方程根的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）2

【解析】

（1）當時，，，求出，，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，可求出曲線在點處的切線方程；

（2），由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在恒成立，進而可知在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出在上的最小值，令即可；

（3）構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在性定理，可得到的零點個數(shù)，即為方程根的個數(shù).

（1）當時，，則，

所以，，

所以曲線在點處的切線方程為，即.

（2）由題意，，

因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，

即在恒成立，

令，，則，

所以時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

所以在上最小值為，

所以.

（3）當時，方程根的個數(shù)為2.

證明如下：

當時，，構(gòu)造函數(shù)，

則，顯然在上單調(diào)遞增，

因為，，所以存在唯一零點，設為，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為，所以，所以在上存在唯一零點

又因為，所以在上存在唯一零點，

故函數(shù)有2個零點，即方程根的個數(shù)為2.