Question

設(shè)平面向量

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)f（α）=

13

5

，且-

2π

3

＜α＜

π

6

時，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得函數(shù)f（x）并化簡，然后結(jié)合x的范圍求得函數(shù)f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）由f（α）=

13

5

，且-

2π

3

＜α＜

π

6

求得sin(α+

π

6

)，cos(α+

π

6

)的值，再由倍角公式求得sin（2α+

π

3

）的值．

解答： 解析：（Ⅰ）∵

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），
∴f(x)=(cos2

x

2

，  

3

sinx) •(2， 1)=2cos2

x

2

+

3

sinx
=cosx+

3

sinx+1=2sin(x+

π

6

)+1．
當(dāng)x∈[-

π

3

， 

π

2

] 時，x+

π

6

∈[-

π

6

， 

2π

3

]，
則-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，0≤2sin(x+

π

6

)+1≤3，
∴f（x）的取值范圍是[0，3]；
（Ⅱ）由f(α)=2sin(α+

π

6

)+1=

13

5

，得sin(α+

π

6

)=

4

5

，
∵-

2π

3

＜α＜

π

6

，
∴-

π

2

＜α+

π

6

＜

π

3

，得cos(α+

π

6

)=

3

5

，
∴sin(2α+

π

3

)=sin[2(α+

π

6

)]=2sin(α+

π

6

)cos(α+

π

6

)=2×

4

5

×

3

5

=

24

25

．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，訓(xùn)練了由已知三角函數(shù)的值求其它三角函數(shù)值，是中檔題．