Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，已知${a_1}=\frac{2}{3}$，a₂=1，2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．
（1）求a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a₃的值；
（2）化簡遞推關系式，利用等比數(shù)列的定義證明即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}中，已知${a_1}=\frac{2}{3}$，a₂=1，2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．
n=3時，2a₃=3a₂-a₁，
解得${a_3}=\frac{7}{6}$．
（2）證明：2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．可得2（a_n-a_n-1）=a_n-1-a_n-2．
∵${a_2}-{a_1}=\frac{1}{3}$，
∴a_n-a_n-1≠0，
∴$\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}-{a_{n-2}}}}=\frac{1}{2}$，
∴{a_n-a_n-1}是以$\frac{1}{3}$為首項$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，考查計算能力．