Question

13．對(duì)函數(shù)$f（x）=\frac{ax+1}{x-1}$（其中a為實(shí)數(shù)，x≠1），給出下列命題；
①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；
②對(duì)任意a∈R，f（x）都不是奇函數(shù)；
③當(dāng)a=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；
④關(guān)于x的方程f（x）=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
其中正確命題的序號(hào)為②④，（把所有正確的命題序號(hào)寫入橫線）

Answer 1

分析 ①，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一個(gè)單位得到的，不是單調(diào)函數(shù)．
②，用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其圖象關(guān)于（1，a）對(duì)稱，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱，不是偶函數(shù)；
④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確；

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一個(gè)單位得到的，不是單調(diào)函數(shù)，∴不正確．
對(duì)于②，用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其圖象關(guān)于（1，a）對(duì)稱，若為是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴正確；
對(duì)于③，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱，不是偶函數(shù)，∴不正確；
對(duì)于④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判定，涉及到f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．