Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-$\frac{1}{2}{x^3}（{a∈R}）$．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線經(jīng)過點$（{3，\frac{9}{2}}）$，求a的值；
（2）若f（x）在（1，2）上存在極值，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，曲線曲線的斜率以及切點坐標(biāo)，然后求解切線方程，代入$（{3，\frac{9}{2}}）$求出a即可．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，列出不等式求解即可．
（3）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，則$lnx-ax-\frac{1}{2}{x^3}＜0$，即$a＞\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}$對x＞0恒成立．
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}（{x＞0}）$，求出導(dǎo)函數(shù)$g′（x）=\frac{{1-lnx-{x^3}}}{x^2}$，設(shè)h（x）=1-lnx-x³（x＞0），再求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最值，求出$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{2}$，然后求解a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f′（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{3}{2}{x^2}$，
∴$f′（1）=-a-\frac{1}{2}$，∵$f（1）=-a-\frac{1}{2}$，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為$y+a+\frac{1}{2}=-（{a+\frac{1}{2}}）（{x-1}）$，
代入$（{3，\frac{9}{2}}）$得a+5=-2a-1⇒a=-2．
（2）∵$f′（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{3}{2}{x^2}$為（0，+∞）上的減函數(shù)，
f（x）在（1，2）上存在極值，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f′（1）＞0}\\{f′（2）＜0}\end{array}}\right.⇒a∈（{-\frac{11}{2}，-\frac{1}{2}}）$．
（3）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，則$lnx-ax-\frac{1}{2}{x^3}＜0$，
即$a＞\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}$對x＞0恒成立．
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}（{x＞0}）$，$g′（x）=\frac{{1-lnx-{x^3}}}{x^2}$，
設(shè)h（x）=1-lnx-x³（x＞0），$h′（x）=-\frac{1}{x}-3{x^2}＜0$，
∴h（x）在（0，+∞）上遞減，
又h（1）=0，則當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＞0，g′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時，h（x）＜0，g′（x）＜0．
∴$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{2}$，∴$a＞-\frac{1}{2}$，
即a的取值范圍為$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程，極值以及函數(shù)的最值，構(gòu)造法二次導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．