Question

若

e1

，

e2

，

e3

為同一平面內(nèi)互不共線的三個(gè)單位向量，并滿足

e1

+

e2

+

e3

=

0

，且向量

a

=x

e1

+

n

x

e2

+（x+

n

x

）

e3

 （x∈R，x≠0，n∈N₊）．
（Ⅰ）求

e1

與

e2

所成角的大��；    
（Ⅱ）記f（x）=|

a

|，試求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先利用函數(shù)的數(shù)量積求出向量的夾角．
（2）首先把向量的模長轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量級，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，最后確定最值．

解答： 解：（ I ） 依題設(shè)：|

e1

|=||

e2

=|

e3

|=1，且

e1

+

e2

=-

e3

⇒（

e1

+

e2

）²=（-

e3

）²，化簡得：

e1

•

e2

=-

1

2

⇒cos＜

e1

，

e2

＞=-

1

2

，又＜

e1

，

e2

＞∈[0，π]⇒＜

e1

，

e2

＞=

2π

3

．
（ II ）由 （ I ）易知：

e2

•

e3

=

e3

•

e1

=

e1

•

e2

=-

1

2

，
故由f（x）=|

a

|=

[x e1 + n x e2 +(x+ n x ) e3 ]2

，
將其展開整理得：f（x）=

x2+( n x )2-n

 （x∈R，x≠0，n∈N₊）．①x＞0時(shí)，對u（x）=x²+（

n

x

）²-n，求導(dǎo)并整理得：u′（x）=

2(x2+n)(x2-n)

x3

．
則由u′（x）＞0⇒x＞

n

，
且由u′（x）＜0⇒0＜x＜

n

．即f（x）的增區(qū)間為（

n

，+∞），減區(qū)間為（0，

n

）．
②x＜0時(shí)，因f（x）為偶函數(shù)，由圖象的對稱性知：f（x）的增區(qū)間為（-

n

，0），減區(qū)間為（-∞，-

n

）．
綜上：f（x）的增區(qū)間為 （-

n

，0）與 （

n

，+∞），f（x）的減區(qū)間為（-∞，-

n

） 和 （0，

n

）．
再由均值不等式易求得：|x|=

n

時(shí)，f（x）_min=

n

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的模，均值不等式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值及相關(guān)的運(yùn)算問題．