Question

已知二面角α-l-β為60°，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：首先作出二面角的平面角，然后再構(gòu)造出異面直線AB與CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問題的答案．

解答： 解：如圖，過A點做AE⊥l，使BE⊥β，垂足為E，
過點A作AF∥CD，過點E做EF⊥AE，連接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，設(shè)AE=a，則AB=2a，BE=

3

a，
在Rt△AEF中，則EF=a，AF=

2

a，
在Rt△BEF中，則BF=2a，
∴異面直線AB與CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF=

AB2+AF2-BF2

2AB•AF

=

(2a)2+( 2 a)2-(2a)2

2×2a× 2 a

=

2

4

．
故答案為：

2

4

．

點評：本題主要考查了二面角和異面直線所成的角，關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角和異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想想能力和作圖能力，屬于中檔題．