Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-2lnx（a為常數(shù)）
（Ⅰ）當a=1對，求f（x）單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，求a的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)的零點

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=l對，函數(shù)f（x）=a（x-1）-2lnx=x-1-2lnx，直接求導用導數(shù)研究單調性即可．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，則對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立或者f（x）＜0恒成立．
首先證明a≤0，f（x）=a（x-1）-2lnx＞0恒成立；
其次證明函數(shù)f（x）＜0在區(qū)間（0，1）上不可能恒成立，只有使對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立．
從①當a＞2，②當a≤2兩種情況入手．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
當a=1時，函數(shù)f（x）=x-1-2lnx，∴f′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

由f'（x）＞0得x＞2，由f'（x）＜0得0＜x＜2
故f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，2），單調遞增區(qū)間為（2，+∞）
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，則
對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立或者f（x）＜0恒成立．
由x∈（0，1），得x-1＜0，-2lnx＞0，
故若a≤0，f（x）=a（x-1）-2lnx＞0恒成立；
若a＞0，
首先證明函數(shù)f（x）＜0在區(qū)間（0，1）上不可能恒成立，
令x0=(

1

e

)a，則x₀∈（0，1），且f(x0)=f[(

1

e

)a]=a[(

1

e

)a-1]-2ln(

1

e

)a=a(

1

e

)a+a＞0
所以，函數(shù)f（x）＜0在區(qū)間（0，1）上不可能恒成立，
∴故要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，只要對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立．
∵f′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

=

a(x- 2 a )

x

，
①當a＞2，即0＜

2

a

＜1時，由f'（x）＞0得x＞

2

a

，由f'（x）＜0得0＜x＜

2

a

，
即f（x）在區(qū)間(0，

2

a

)上單調遞減，在區(qū)間(

2

a

，1)上單調遞增；
此時f(x)min=f(

2

a

)=a(

2

a

-1)-2ln

2

a

=2-a-2ln

2

a

，
令g(a)=2-a-2ln

2

a

，∴g′(a)=-1+

2

a

=

2-a

a

＜0，
∴g（a）在a＞2遞減，故g（a）＜g（2）=0，
所以當a＞2時，f（x）_min＜0，即對?x∈（0，1），f（x）＞0不恒成立，
∴a＞2不滿足要求，∴a≤2，
②當a≤2時，即

2

a

≥1時，由f'（x）＞0得x＞

2

a

，由f'（x）＜0得0＜x＜

2

a

，
即f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，故f（x）＞f（1）=0，
滿足對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，滿足要求，
綜上，a≤2，即a的最大值為2．

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，帶有參變量的題，要對參量的取值進行討論，屬于高檔題．