Question

(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，
底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

(1)底面⊥=⊥.
⊥平面⊥,進(jìn)而確定⊥平面.
(2)解第（2）的關(guān)鍵是判斷出為等邊三角形，為等腰直角三角形,然后取的中點(diǎn)，連接,確定為所求的二面角的平面角.

（1）證明：由⊥底面，得⊥，由=知為等腰直角三角形，又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，故⊥由題意知⊥，又是在面內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理得⊥，從而⊥平面，因⊥，⊥，所以⊥平面.
（2）解：由（1）知⊥平面，又//，得⊥平面，故⊥.
在中，==，
從而在，所以為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則
因==1，且⊥，則為等腰直角三角形，連接，則⊥，
所以為所求的二面角的平面角.
連接，在中，

所以故二面角的平面角的余弦值為
解二：（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)、、分別為軸、軸、軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則   .
于是,
則，所以⊥平面.
（2）解：設(shè)平面的法向量為，由（1）知，⊥平面，
故可取
設(shè)平面的法向量，則，
由 =1，得從而
故所以可取
從而所以二面角的平面角的余弦值為