Question

（1）已知展開式中前3項(xiàng)系數(shù)的和為129，這個(gè)展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)？如果沒有，請(qǐng)說明理由；如有，請(qǐng)求出來．
（2）設(shè)，
①用q和n表示A_n；
②求證：當(dāng)q充分接近于1時(shí)，充分接近于．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)展開式中前3項(xiàng)系數(shù)的和為129，求得n的值，令x的冪指數(shù)等于零，自然數(shù)r無解，可得展開式中無常數(shù)項(xiàng)．令x的冪指數(shù)等于1，解得自然數(shù)r=6，由此可得展開式的一次項(xiàng)．
（2）①先求得 a_n=1+q+q²+…+q^n-1=，可得A_n =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)為[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②由①求得 ，當(dāng)q充分接近于1時(shí)，接近于0，由二項(xiàng)式定理知充分接近于，可得充分接近，命題得證．
解答：解：（1）二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=••2^r•=•，
展開式中前3項(xiàng)系數(shù)的和為 ++=129，解得n=8．
故通項(xiàng)公式為 T_r+1=•，令 =0，自然數(shù)r無解，故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．
令 =1，解得自然數(shù)r=6，故有一次項(xiàng)，且一次項(xiàng)為1792x．
（2）①因?yàn)閝≠1，所以，a_n=1+q+q²+…+q^n-1=．
于是，A_n=++…+ C_nⁿ =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
={（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}=[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②∵，∴，
當(dāng)q充分接近于1時(shí)，接近于0，由二項(xiàng)式定理知充分接近于，
所以充分接近，故充分接近，命題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．