Question

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合

分析：由差的積分等于積分的差得到

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx-

∫

1 0

2xdx，然后由微積分基本定理求出

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx，求出定積分

∫

1 0

2xdx，則答案可求．

解答： 解：

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx
=

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx-

∫

1 0

2xdx．
令y=

1-(x-1)2

，則（x-1）²+y²=1（y≥0），
表示的是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
∴

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）等于四分之一圓的面積，為

π

4

．
又

∫

1 0

2xdx=x2

|

1 0

=1．
∴

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

π

4

-1．
故答案為：

π

4

-1．

點評：本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，是基礎(chǔ)的計算題．