Question

過點（1，2）的直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)△ABC的面積最小時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)點 A（a，0）B （0，b）（a，b＞0），直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，點（1，2）在此直線上，由基本不等式，
得1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，由此能求出△AOB的面積最小時，直線l的方程．

解答： 解：設(shè)點 A（a，0）B （0，b）（a，b＞0）則直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
由題意，點 （1，2）在此直線上，所以

1

a

+

2

b

=1，
由基本不等式，
得1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，
∴ab≥8，
于是S_△AOB=

1

2

ab≥4 當(dāng)且僅當(dāng) 

1

a

=

2

b

，
即a=2，b=4時，取“=”，
因此，△AOB的面積最小時，
直線l的方程為

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0．

點評：本題考查當(dāng)△ABC的面積最小時，直線l的方程的求法，解題時要認真審題，注意基本不等式的性質(zhì)的合理運用．