Question

7．在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a、b，則使關于x的二次方程${x^2}+2\sqrt{{a^2}+{b^2}}x+1=0$有實數(shù)根的概率為$1-\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二次方程根的個數(shù)與△的關系，我們易得到關于x的二次方程x²+2 $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的兩根都是實數(shù)?a²+b²≥1，分別求出在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a、b，對應的平面區(qū)域面積，和滿足a²+b²≥1對應的平面區(qū)域面積，代入幾何概型概率計算公式，即可得到答案．

解答 解：若關于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的兩根都是實數(shù)，
則△=4（a²+b²）-4≥0，即a²+b²≥1，
在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a、b對應的平面區(qū)域如下圖中矩形面積所示，
其中滿足條件a²+b²≥1的點如下圖中陰影部分所示，

∵S_矩形=2×2=4，S_陰影=4-π
故在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a、b，
則使關于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的兩根都是實數(shù)的概率P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{矩形}}$=1-$\frac{π}{4}$，
故答案為：1-$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查的知識點是幾何概型，其中分析出關于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的兩根都是實數(shù)?a²+b²≥1是解答本題的關鍵．