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6.已知函數(shù)f(x)=4ax-ax-2lnx.
(Ⅰ)當a=1時,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=6ex,若在區(qū)間[1,e]上至少存在一點x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出f(x)的導數(shù),求出f′(1),f(1),代入切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的具體范圍;
(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],只需ϕ(x)max>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出ϕ(x)max,從而求出a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)當a=1時,fx=4x1x2lnx
f(1)=4-1-2ln1=3,…(1 分)
fx=4+1x22x,…(2 分)
曲線f(x)在點(1,f(1))處的斜率為f′(1)=3,…(3 分)
故曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3=3(x-1),
即y=3x.…(4 分)
(Ⅱ)fx=4a+ax22x=4ax22x+ax2.…(5 分)
令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
只需h(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.…(6 分)
依題意a>0,此時h(x)=4ax2-2x+a的圖象為開口向上的拋物線,
hx=4ax14a2+a14a,
其對稱軸方程為x=14a0+,hxmin=a14a
則只需a14a≥0,即a≥12時,h(x)≥0,f'(x)≥0,…(8 分)
所以f(x)定義域內(nèi)為增函數(shù),實數(shù)a的取值范圍是[12+.…(9 分)
(Ⅲ)解:構(gòu)造函數(shù)ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],
依題意ϕ(x)max>0,…(10分)
由(Ⅱ)可知a≥12時,ϕ(x)=f(x)-g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),
ϕx=a4x1x2lnx6ex在[1,e]上單調(diào)遞增,…(12分)
ϕxmax=ϕe=a4e1e80,則a8e4e218e4e2=2e12,
此時,ϕ(e)=f(e)-g(e)>0,即f(e)>g(e)成立.
當a≤8e4e21時,因為x∈[1,e],4x1x0,
故當x值取定后,ϕ(x)可視為以a為變量的單調(diào)遞增函數(shù),
則ϕ(x)≤8e4e214x1x2lnx6ex,x∈[1,e],
故ϕ(x)≤8e4e214e1e2lne6ee=0,
即f(x)≤g(x),不滿足條件.
所以實數(shù)a的取值范圍是8e4e21+.…(14分)

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.

練習冊系列答案
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A.512B.312C.32-1D.52-1

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(1)求拋物線C的標準方程;
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