分析 (Ⅰ)求出f(x)的導數(shù),求出f′(1),f(1),代入切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的具體范圍;
(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],只需ϕ(x)max>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出ϕ(x)max,從而求出a的范圍.
解答 解:(Ⅰ)當a=1時,f(x)=4x−1x−2lnx,
f(1)=4-1-2ln1=3,…(1 分)
f′(x)=4+1x2−2x,…(2 分)
曲線f(x)在點(1,f(1))處的斜率為f′(1)=3,…(3 分)
故曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3=3(x-1),
即y=3x.…(4 分)
(Ⅱ)f′(x)=4a+ax2−2x=4ax2−2x+ax2.…(5 分)
令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
只需h(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立.…(6 分)
依題意a>0,此時h(x)=4ax2-2x+a的圖象為開口向上的拋物線,
h(x)=4a(x−14a)2+(a−14a),
其對稱軸方程為x=14a∈(0,+∞),h(x)min=a−14a,
則只需a−14a≥0,即a≥12時,h(x)≥0,f'(x)≥0,…(8 分)
所以f(x)定義域內(nèi)為增函數(shù),實數(shù)a的取值范圍是[12,+∞).…(9 分)
(Ⅲ)解:構(gòu)造函數(shù)ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],
依題意ϕ(x)max>0,…(10分)
由(Ⅱ)可知a≥12時,ϕ(x)=f(x)-g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),
即ϕ(x)=a(4x−1x)−2lnx−6ex在[1,e]上單調(diào)遞增,…(12分)
ϕ(x)max=ϕ(e)=a(4e−1e)−8>0,則a>8e4e2−1>8e4e2=2e>12,
此時,ϕ(e)=f(e)-g(e)>0,即f(e)>g(e)成立.
當a≤8e4e2−1時,因為x∈[1,e],4x−1x>0,
故當x值取定后,ϕ(x)可視為以a為變量的單調(diào)遞增函數(shù),
則ϕ(x)≤8e4e2−1(4x−1x)−2lnx−6ex,x∈[1,e],
故ϕ(x)≤8e4e2−1(4e−1e)−2lne−6ee=0,
即f(x)≤g(x),不滿足條件.
所以實數(shù)a的取值范圍是(8e4e2−1,+∞).…(14分)
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源:2017屆四川巴中市高中高三畢業(yè)班10月零診理數(shù)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù),
為
的導函數(shù),則
的圖象是( )
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A. | √5−12 | B. | √3−12 | C. | √32-1 | D. | √52-1 |
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