Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，CD=2，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）若直線AE與直線BC所成角等于$\frac{π}{3}$，求二面角D-PB-A平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF，推導(dǎo)出四邊形ABFE為平行四邊形，從而AE∥BF，由此能證明AE∥平面PBC．
（2）AE與直線BC所成角為$\frac{π}{3}$，延長(zhǎng)BA一倍到H，連結(jié)DH，再作HG⊥BP，連結(jié)DG，∠DGH是二面角D-PB-A的平面角，由此能求出二面角D-PB-A平面角的余弦值．

解答 證明：（1）取PC中點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF，
∴△PCD中，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，AB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$AB，
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∵AE∥BF，AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
解：（2）AE與直線BC所成角為$\frac{π}{3}$，$∠FBC=\frac{π}{3}$，
∴BP=$\sqrt{3}$，∴PA=$\sqrt{2}$，
延長(zhǎng)BA一倍到H，連結(jié)DH，再作HG⊥BP，連結(jié)DG，
則∠DGH是二面角D-PB-A的平面角，
DH=1，F(xiàn)G×$\sqrt{3}=2×\sqrt{2}$，HG=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴tan∠DGH=$\frac{DH}{HG}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cos∠DGH=$\frac{2\sqrt{22}}{11}$$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴二面角D-PB-A平面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．