Question

14．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=10，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式列方程組求出{a_n}的首項(xiàng)和公差，得出a_n；
（2）使用裂項(xiàng)法求出T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則S₁₀=4a₁+6d，
∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=10}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\end{array}\right.$，
解得：d=1或d=0（舍去），∴a₁=1，
∴a_n=n．
（2）b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
則T_n═$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)法數(shù)列列求和，屬于中檔題．