已知向量
m
=(sinA，sinB），
n
=(cosB，cosA），
m
.
n
=sin2C且A，B，C分別為的三邊a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且
CA
．(
AB
-
AC
)=18，求邊c的長．
分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡
m
•
n
=sin2C，得到sin2C等于sinC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2sinC等于sinA+sinB，根據(jù)正弦定理得到2c=a+b，再根據(jù)向量的減法法則化簡已知的
CA
•(
AB
-
AC
)=18，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數(shù)，a+b=2c及ab的值代入即可列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
解答：解：（Ⅰ）
m
•
n
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)
對于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴
m
•
n
=sinC
又∵
m
•
n
=sin2C，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=
1
2
，又C∈（0，π）
∴C=
π
3
；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵
CA
•(
AB
-
AC
)=18，
∴
CA
•
CB
=18，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，即c2=36，
∴c=6．
點評：此題考查學生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則及向量的減法法則，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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