圓O所在平面為α,AB為直徑,C是圓周上一點(diǎn),且PA⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,PA=
3
,AB=2,∠ABC=30°,設(shè)直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角為θ、二面角P-BC-A的大小為φ,則θ、φ分別為( �。�
分析:由∠ACB是⊙O的直徑所對(duì)的圓周角,可得BC⊥AC.利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及PA⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,可得PA⊥平面ABC.
因此∠PCB既是直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角,又是二面角P-BC-A的平面角.利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可.
解答:解:∵∠ACB是⊙O的直徑所對(duì)的圓周角,∴∠ACB=90°.∴BC⊥AC.
∵PA⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.
∴BC⊥AC,∠PCB是直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角,即∠PCA=θ.
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角,即∠PCA=φ,因此θ=φ.
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=2.
∴AC=1.
在Rt△ABC中,PA=
3
,∴tan∠PCA=
PA
AC
=
3

∴∠PCA=60°.
∴θ=φ=60°.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了面面、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、線(xiàn)面角、二面角的平面角、圓的性質(zhì)、三垂線(xiàn)定理、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3.過(guò)C作圓的切線(xiàn)l,過(guò)A作l的垂線(xiàn)AD,AD與直線(xiàn)l、圓O分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求∠DAC的大小及線(xiàn)段AE的長(zhǎng);
(2)如圖2所示,將△ACD沿AC折起,點(diǎn)D折至點(diǎn)P處,且使得△ACP所在平面與圓O所在平面垂直,連接BP,求二面角P-AB-C大小的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•潮州二模)如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),且AD=
1
3
DB,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且BC=
3
AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年廣東省潮州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),且AD=DB,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且BC=AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆浙江富陽(yáng)場(chǎng)口中學(xué)高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

圓O所在平面為,AB為直徑,C是圓周上一點(diǎn),且,平面平面,,,設(shè)直線(xiàn)PC與平面所成的角為

二面角的大小為,則、分別為(    )

第7題圖

A.     B.       C.       D.  

 

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