已知橢圓C1和雙曲線(xiàn)C2有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，C1的離心率為e1，C2離心率為e2，P為C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿(mǎn)足
1
e12
+
1
e22
=2，則
PF
1•
PF2
的值為（　�。�
分析：根據(jù)橢圓、雙曲線(xiàn)的定義，求得|PF1|2+|PF2|2，利用離心率及
1
e12
+
1
e22
=2，即可得到結(jié)論．
解答：解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，焦距長(zhǎng)為2c，
∴|PF1|+|PF2|=2a，||PF1|-|PF2||=2m
∴2（|PF1|2+|PF2|2）=4a2+4m2，
∴|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，
∵
1
e12
+
1
e22
=2
∴
a2
c2
+
m2
c2
=2
∴a2+m2=2c2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=|F1F2|2
∴PF1⊥PF2，
∴
PF
1•
PF2
=0
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的綜合，考查橢圓、雙曲線(xiàn)的定義與離心率，確定|PF1|2+|PF2|2的值是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線(xiàn)C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)C2的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+
2
與雙曲線(xiàn)C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•安慶三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C1：
x2
a2
+
y2
12
=1和雙曲線(xiàn)C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為（
4
10
5
，
6
5
5
），設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）．
（1）試求橢圓C1和雙曲線(xiàn)C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l與橢圓C1交于不同兩點(diǎn)A、B，與雙曲線(xiàn)C2交于不同兩點(diǎn)C、D，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使得向量
AC
+
BD
=
0
，若存在，指出這樣的直線(xiàn)有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數(shù)列，曲線(xiàn)y=8-x2恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是橢圓C1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是C1和C2上的點(diǎn)，問(wèn)是否存在A，B滿(mǎn)足
OA
=
1
2
OB
．請(qǐng)說(shuō)明理由．若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線(xiàn)C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)C2的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+
2
與雙曲線(xiàn)C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C2和直線(xiàn)l，設(shè)計(jì)一個(gè)與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問(wèn)題，并予以解答（本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題思維層次評(píng)分）．

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