Question

【題目】在△ABC中，交A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC的面積的最值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，c=acosB+bsinA， 由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，
∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，
∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，
化簡得，sinBcosA=sinBsinA，
∵sinB＞0，∴cosA=sinA，則tanA=1，
由0＜A＜π得A= ；
（Ⅱ）∵a=2 ，A= ，∴由余弦定理得，
a2=b2+c2﹣2bccosA，則 ，
即 ，解得bc≤ ，當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積S= ，
∴△ABC的面積的最大值是 ．
【解析】（Ⅰ）根據正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦函數化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；（Ⅱ）由條件和余弦定理列出方程化簡后，由不等式求出bc的范圍，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積的最大值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:才能正確解答此題．