Question

【題目】如圖，在四棱錐B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC于F，AC=4CD=4，AE=3．

（1）求證：BE⊥DF；
（2）求二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）方法一（幾何法）：

證明：∵AE⊥平面ABC，BF平面ABC，∴AE⊥BF，

∵BF⊥AC，AE∩AC=A，

∴BF⊥平面AEC，DF平面AEC，∴BF⊥DF，

∵∠ABC=3∠BAC=90°，又AC=4CD=4，

∴∠BAC=30°．CD=1．

∴ ，

又BF⊥AC．∴ ，

又CD∥AE，AE⊥平面ABC，∴CD⊥平面ABC．

又AC平面ABC．∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°．

又AF=AC﹣CF=3=AE，∴∠EFA=45°，

∴∠EFD=90°，即DF⊥EF．

又BF∩EF=F，BF．EF平面BEF．

∴DF⊥平面BEF，BE平面BEF．

∴DF⊥BE．

方法二（向量法）：

證明：（Ⅰ）過(guò)F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，

又AC．BF平面ABC，于是Fz⊥AC，F(xiàn)z⊥BF，

又BF⊥AC，∴BF．AC．Fz兩兩垂直．

以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A．FB．Fz依次為x．y．z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

∵∠ABC=3∠BAC=90°，AC=4CD=4，AE=3，

∴CD=1，∠BAC=30°．

∴ ， ，AF=AC﹣FC=3， ．…（3分）

于是F（0，0，0）， ，D（﹣1，0，1），E（3，0，3）， ， ．

故 ．

所以DF⊥BE

（2）方法一（幾何法）：

解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，連接BG．

由（1）知BF⊥平面AEC，又DE平面AEC，∴BF⊥DE．

又BF∩FG=F，BF．FG平面BFG，∴DE⊥平面BFG．

又BG平面BFG，∴BG⊥FG．（三垂線定理）

故∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角．

在Rt△EAF中， ．

在Rt△FCD中， ．

在Rt△EFD中， ．

由EFFD=FGED得 ．

在Rt△BFC中， ．

在Rt△BFG中， ．

∴ ．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值為 ．

方法二（向量法）：

解：（2）由（1）知 ， ， ， ．

于是 ，所以FB⊥FE，又FB⊥AC．

所以 是平面DEF的一個(gè)法向量．

設(shè) 是平面BDE的一個(gè)法向量，則

取z=2，得到 ．

∴ ．

又二面角B﹣DE﹣F是銳二面角．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值為 ．

【解析】方法一（幾何法）：（1）推導(dǎo)出AE⊥BF，BF⊥AC，從而B(niǎo)F⊥DF，再求出CD⊥平面ABC，從而CD⊥AC，進(jìn)而DF⊥EF，由此能證明DF⊥平面BEF，從而得到DF⊥BE．（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，連接BG，則∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角，由此能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
方法二（向量法）：（1）過(guò)F作Fz∥AE，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A．FB．Fz依次為x．y．z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF⊥BE．（2）求出平面DEF的一個(gè)法向量和平面BDE的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．