已知函數(shù)f(x)=
13
x3-ax2+(a2+2a)x，a∈R．
（1）當a=-2時，求f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值；
（2）若線段AB：y=2x+3（0≤x≤2）與導函數(shù)y=f'（x）的圖象只有一個交點，且交點在線段AB的內(nèi)部，試求a的取值范圍．
分析：（1）欲求函數(shù)的最大值與最小值，通過列表格的方法研究原函數(shù)的單調(diào)性及在端點處和極值處的函數(shù)值的大��；
（2）先將導函數(shù)與線段方程聯(lián)立，得到一個二次函數(shù)g（x），此函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)只有一根，即g（0）•g（2）＜0，即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=-2時，f(x)=
1
3
x3+2x2．（1分）
求導得f'（x）=x2+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
f'（x） - 0 +
f（x）
5
3
 ↘ 0 ↗
7
3
所以，f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最大值是
7
3
，最小值是0．（7分）
（2）y=f'（x）=x2-2ax+a2+2a．（8分）
聯(lián)立方程組
y=x2-2ax+a2+2a
y=2x+3
（9分）
得x2-2（a+1）x+a2+2a-3=0．（10分）
設g（x）=x2-2（a+1）x+a2+2a-3，則方程g（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)只有一根，
相當于g（0）•g（2）＜0，即（a2+2a-3）•（a2-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）
點評：考查學生利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的能力以及函數(shù)和方程的綜合運用能力，對于兩個函數(shù)的交點問題，一般是將兩個函數(shù)聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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