Question

1．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且x∈[0，+∞）時，f′（x）＜0，若不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）對x∈[0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $[-\frac{23}{27}，1]$
• B． $[\frac{23}{27}，1]$
• C． [1，3]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根據條件即可得出f（x³-x²+a）≥f（1），而f（x）為偶函數，從而得出f（|x³-x²+a|）≥f（1），根據單調性即可得出|x³-x²+a|≤1，進而得出-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1，而x∈[0，1]．可設g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，然后求導數，根據導數符號判斷g（x），h（x）的單調性，進而得出g（x）的最小值，h（x）的最大值，從而得出a的取值范圍．

解答 解：f（x）是R上的偶函數；
∴f（-x³+x²-a）=f（x³-x²+a）；
∴由f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）得，2f（x³-x²+a）≥2f（1）；
∴f（x³-x²+a）≥f（1）；
∴f（|x³-x²+a|）≥f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上遞減；
∴|x³-x²+a|≤1；
∴-1≤x³-x²+a≤1；
∴-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1對x∈[0，1]恒成立；
設g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，則g′（x）=h′（x）=-3x（x-$\frac{2}{3}$）；
∴x∈[0，$\frac{2}{3}$]時，g（x），h（x）都單調遞增，x∈（$\frac{2}{3}$，1]時，g（x），h（x）都單調遞減；
∴h（x）的最大值為f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{23}{27}$，g（x）的最小值為f（0）=1；
∴-$\frac{23}{27}$≤a≤1；
即實數a的取值范圍為[-$\frac{23}{27}$，1]；
故選：A．

點評 考查偶函數的定義，減函數的定義，絕對值不等式的解法，以及函數導數符號和函數單調性的關系，根據函數單調性求函數最值的方法，以及恒成立問題的處理方法．