Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）是否存在，，使得函數(shù)在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）存在，當且時，或當且時，可以使得函數(shù)在區(qū)間的最小值為且最大值為

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，設(shè)，，再求恒成立，說明是單調(diào)遞增函數(shù)，然后討論的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）討論的函數(shù)的單調(diào)性，當和時函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，易判斷，當時，令，，根據(jù)其單調(diào)性，可判斷，當時，，當時，，因為，所以，，，與條件矛盾，所以這種情況下不存在.

（1），

令，，

則，則在上單調(diào)遞增，

①.若，則，則，則在上單調(diào)遞增；

②.若，則，則，則在上單調(diào)遞減；

③.若，則，，又在上單調(diào)遞增，

結(jié)合零點存在性定理知：存在唯一實數(shù)，使得，

當時，，則，則在上單調(diào)遞減，

當時，，則，則在上單調(diào)遞增.

綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；

當時，存在唯一實數(shù)，使得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知，

①.若，則，則，

而，解得滿足題意；

②.若，則，則，

而，解得滿足題意：

③.若，令，，

則，故在上單調(diào)遞減，所以，

令，，由（1）知；

令，，由（1）知；

因為，，且，

所以，則，，

故，故對任意，

不存在實數(shù)能使函數(shù)在區(qū)間的最小值為且最大值為；

綜上，當且時，或當且時，

可以使得函數(shù)在區(qū)間的最小值為且最大值為.