【題目】已知集合,集合是集合S的一個(gè)含有8個(gè)元素的子集.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè),
①寫(xiě)出方程的解();
②若方程至少有三組不同的解,寫(xiě)出k的所有可能取值;
(2)證明:對(duì)任意一個(gè)X,存在正整數(shù)k,使得方程至少有三組不同的解.
【答案】(1)①②4,6.(2)證明見(jiàn)詳解.
【解析】
(1)①根據(jù)兩個(gè)元素之差為3,結(jié)合集合的元素,即可求得;
②根據(jù)題意要求,寫(xiě)出集合X中從小到大8個(gè)數(shù)中所有的差值(限定為正數(shù))的可能,計(jì)算每個(gè)差值出現(xiàn)的次數(shù),即可求得;
(2)采用反證法,假設(shè)不存在滿足條件的k,根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.
(1)①方程的解有:.
②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正,則:
列出集合X的從小到大8個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差:1,3,2,4,2,3,1;
中間隔一數(shù)的兩數(shù)差(即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和):4,5,6,6,5,4;
中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差:6,9,8,9,6;
中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差:10,11,11,10;
中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差:12,14,12;
中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差:15,15;
中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差:16.
這28個(gè)差數(shù)中,只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次,其余都不超過(guò)2次,
所以k的可能取值有4,6.
(2)證明:不妨設(shè),記,
,共13個(gè)差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k,
則這13個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4、兩個(gè)5、兩個(gè)6,
從而 ①
又
,這與①矛盾.
故假設(shè)不成立,結(jié)論成立.
即對(duì)任意一個(gè)X,存在正整數(shù)k,使得方程至少有三組不同的解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線上一點(diǎn),點(diǎn),是拋物線上異于的兩動(dòng)點(diǎn),且,則點(diǎn)到直線的距離的最大值是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線 與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)(0,1),且=,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某縣一中學(xué)的同學(xué)為了解本縣成年人的交通安全意識(shí)情況,利用假期進(jìn)行了一次全縣成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查.已知該縣成年人中的擁有駕駛證,先根據(jù)是否擁有駕駛證,用分層抽樣的方法抽取了100名成年人,然后對(duì)這100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示.規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的為“安全意識(shí)優(yōu)秀”.
擁有駕駛證 | 沒(méi)有駕駛證 | 合計(jì) | |
得分優(yōu)秀 | |||
得分不優(yōu)秀 | 25 | ||
合計(jì) | 100 |
(1)補(bǔ)全上面的列聯(lián)表,并判斷能否有超過(guò)的把握認(rèn)為“安全意識(shí)優(yōu)秀與是否擁有駕駛證”有關(guān)?
(2)若規(guī)定參加調(diào)查的100人中分?jǐn)?shù)在70以上(含70)的為“安全意識(shí)優(yōu)良”,從參加調(diào)查的100人中根據(jù)安全意識(shí)是否優(yōu)良,按分層抽樣的方法抽出5人,再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人,試求抽取的3人中恰有一人為“安全意識(shí)優(yōu)良”的概率.
附表及公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC∥平面EBD;
(Ⅱ)求證:平面PBC⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】檳榔原產(chǎn)于馬來(lái)西亞,中國(guó)主要分布在云南、海南及臺(tái)灣等熱帶地區(qū),亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材,南方一些少數(shù)民族還有將果實(shí)作為一種咀嚼嗜好品,但其被世界衛(wèi)生組織國(guó)際癌癥研究機(jī)構(gòu)列為致癌物清單Ⅰ類致癌物.云南某民族中學(xué)為了解,兩個(gè)少數(shù)民族班的學(xué)生咀嚼檳榔的情況,分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,經(jīng)他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本,繪制成如圖所示的莖葉圖(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).
(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)較多?
(2)在被抽取的10名學(xué)生中,從平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)不低于20顆的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,求抽到班學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)(ⅰ)求證:;
(ⅱ)設(shè),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),過(guò)原點(diǎn)分別作曲線與的切線,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線.
(Ⅰ)若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),,求證:.
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