Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（-1）=2，f′（0）=0，

∫

1 0

f（x）dx=-2
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)條件建立三個方程，求出參數(shù)即可．
（2）對稱軸為x=0，x∈[-1，1]，故在對稱軸處取最小值，在±1處取最大值．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f′（x）=2ax+b．
由f（-1）=2，f′（0）=0，得a-b+c=2，b=0，
∴c=2-a，b=0，
∴f（x）=ax²+（2-a）．
又

∫

1 0

f（x）dx=

∫

1 0

[ax²+（2-a）]dx
=[

1

3

ax³+（2-a）x]|₀¹=2-

2

3

a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
從而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_min=-4；當(dāng)x=±1時(shí)，f（x）_max=2．

點(diǎn)評：本題主要考查了定積分，以及函數(shù)的最值，屬于中檔題．