【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心,AB為直徑),現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建.在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,OD=80 m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2.設(shè)∠AOC=x rad.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)試問∠AOC多大時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.
【答案】(1) S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.(2)
【解析】
試題分析:(1) 根據(jù)扇形面積公式得S扇形AOC==800x ,根據(jù)三角形面積公式得S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx,從而S(x)=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,定義域?yàn)?/span>
0<x<π(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值:先求導(dǎo)數(shù)S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x=,最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,確定函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律,進(jìn)而得極大值,也是最大值
試題解析:(1)因?yàn)樯刃?/span> AOC的半徑為 40 m,∠AOC=x rad,
所以 扇形AOC的面積S扇形AOC==800x,0<x<π.
在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,
所以△COD 的面積S△COD=·OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx.
從而 S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,0<x<π.
(2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.
S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+).
由 S′(x)=0,解得x=.
從而當(dāng)0<x<時(shí),S′(x)>0;當(dāng)<x<π時(shí), S′(x)<0 .
因此 S(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(,π)上單調(diào)遞減.
所以 當(dāng)x=,S(x)取得最大值.
答:當(dāng)∠AOC為時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),沿MN將△AMN折起,使點(diǎn)A到A′的位置.若平面A′MN與平面MNCB垂直,則四棱錐A′MNCB的體積為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)某商品若干件,商店每銷售1件該商品可獲利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,則每件商品虧損10元;若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑,此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利30元.
(Ⅰ)若商店一天購(gòu)進(jìn)該商品10件,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:件,n∈N)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表:
日需求量n | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
①假設(shè)該店在這50天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)10件該商品,求這50天的日利潤(rùn)(單位:元)的平均數(shù);
②若該店一天購(gòu)進(jìn)10件該商品,記“當(dāng)天的利潤(rùn)在區(qū)間”為事件A,求P(A)的估計(jì)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率,且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并寫出推理過程;
(2)令,,試比較與的大小,并給出你的證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖像恒在直線下方,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(1,a),圓x2+y2=4.
(1)若過點(diǎn)A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程;
(2)若過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三個(gè)班共有學(xué)生100人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)).
班 | 6 | 7 | ||
班 | 6 | 7 | 8 | |
班 | 5 | 6 | 7 | 8 |
(1)試估計(jì)班學(xué)生人數(shù);
(2)從班和班抽出來的學(xué)生中各選一名,記班選出的學(xué)生為甲,班選出的學(xué)生為乙,求甲的鍛煉時(shí)間大于乙的鍛煉時(shí)間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn),證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過直線的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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