Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x+m  (m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，f（x）的最大值為9，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，從而可求得f（x）∈[3+m，4+m]，利用f（x）的最大值為9，可求實數(shù)m的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x+m
=

1-cos2x

2

+

3

sin2x+3×

1+cos2x

2

+m
=

3

sin2x+cos2x+m+2
=2sin（2x+

π

6

）+m+2，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程是x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z．
（Ⅱ）∵當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴3+m≤2sin（2x+

π

6

）+m+2≤4+m
∴4+m=9，解得m=5．
∴實數(shù)m的值為5．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．