Question

已知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間并證明；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域為[m，n]時值域為[

m

6

，

n

6

]？若存在，求m，n的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若存在兩個不相等的實數(shù)r和s，且r∈[1，+∞），s∈[1，+∞），使得f（r）=

1

2

r+t和f（s）=

1

2

s+t同時成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）用單調(diào)性定義判定并證明f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1]；
（Ⅱ）討論①m、n∈（0，1]時，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞）時，③m、n∈[1，+∞）時，由f（x）的單調(diào)性確定其值域，并求得符合條件的m，n的值；
（Ⅲ）根據(jù)題意，假設(shè)命題成立，則可轉(zhuǎn)化為當x≥1時，f（x）=

1

2

x+t有兩個不相等的實數(shù)根的問題，從而求得t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1]，
證明，任取x₁、x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=|1-

1

x1

|-|1-

1

x2

|
=（

1

x1

-1）-（

1

x2

-1）=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上為減函數(shù)；
（Ⅱ）①若m、n∈（0，1]，則f（m）＞f（n），
∴

f(m)= n 6 f(n)= m 6

，即

|1- 1 m |= n 6 |1- 1 n |= m 6

，即

1 m -1= n 6 1 n -1= m 6

；
兩式相減，得

n-m

mn

=

n-m

6

，此式不可能成立；
②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），則f（x）的最小值為0，不合題意；
③若m、n∈[1，+∞），則f（m）＜f（n），
∴

f(m)= m 6 f(n)= n 6

，即

|1- 1 m |= m 6 |1- 1 n |= n 6

∴

1- 1 m = m 6 1- 1 n = n 6

；
∴m，n為1-

1

x

=

x

6

的不等實根．解得m=3-

3

，n=3+

3

，
綜上，存在m=3-

3

，n=3+

3

符合題意；
（Ⅲ）若存在兩個不相等的實數(shù)r和s，且r∈[1，+∞），s∈[1，+∞），
使得f（r）=

1

2

r+t，和f（s）=

1

2

s+t同時成立，
則當x≥1時，f（x）=

1

2

x+t有兩個不相等的實數(shù)根，
即x²+（2t-2）x+2=0在[1，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根；
令h（x）=x²+2（2t-2）x+2，則有：

△=(2t-2)2-8＞0 h(1)=1+2t-2+2≥0 1-t＞1

，
解得-

1

2

≤t＜1-

2

，
∴實數(shù)t的取值范圍為[-

1

2

，1-

2

）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域的問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想以及解方程的有關(guān)問題，是較難的題目．