18.△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=12,b=4$\sqrt{6}$,O為△ABC的外接圓的圓心.
①若cosA=$\frac{4}{5}$,求△ABC的面積S;
②若D為BC邊上任意一點(diǎn),$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$,求sinB的值.

分析 ①由$cosA=\frac{4}{5}$,得$sinA=\frac{3}{5}$,代入三角形面積公式求得△ABC的面積S;
②由$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$,利用余弦定理求出$|\overrightarrow{AO}|$,再由正弦定理求得sinB的值.

解答 解:①由$cosA=\frac{4}{5}$,得$sinA=\frac{3}{5}$,
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×12×\frac{3}{5}=\frac{72\sqrt{6}}{5}$;
②由$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$,
可得$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$,
于是$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$,
即${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|cos∠OAB$$+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AO}|cos∠OAC$,(1)
又O為△ABC的外接圓圓心,則$|{\overrightarrow{AO}}|cos∠OAB=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}}|$,$|{\overrightarrow{AO}}|cos∠OAC$=$\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AC}}|$,(2)
將(1)代入(2),得到${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{8}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{1}{4}×144+\frac{1}{8}×96=48$,
解得|$\overrightarrow{AO}$|=4$\sqrt{3}$.
由正弦定理得$\frac{sinB}=2R=8\sqrt{3}$,
可解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了平面向量基本定理及其意義,訓(xùn)練了正弦定理和余弦定理在求解三角形問題中的應(yīng)用,是中檔題.

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