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19.數列{an}滿足a1=32,an+1=a2n-an+1,則M=1a1+1a2+…+1a2017的整數部分是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 由題設知,an+1-1=an(an-1),從而1an1-1an+11=1an,通過累加,得:M=1a1+1a2+…+1a2017=1a111a20181=2-1a20181.由此能求出M的整數部分.

解答 解:∵數列{an}滿足a1=32,an+1=a2n-an+1,
∴由題設知,an+1-1=an(an-1),
1an+11=1an1-1an,
1an1-1an+11=1an
通過累加,得:
M=1a1+1a2+…+1a2017=1a111a20181
=2-1a20181
由an+1-an=(an-1)2≥0,即an+1≥an,
由a1=32,得a2=74,∴a3=2165
∴a2018≥a2017≥a2016≥a3>2,
∴0<1a20181<1,
∴1<M<2,
∴M的整數部分為1.
故選:A.

點評 本題考查數列的前n項的倒數和的整數部分的求法,考查構造法、累加法等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數與方程思想,是中檔題.

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