在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,為直角三角形,,且.

(1)證明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

(1)詳見解析;(2).

解析試題分析:(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD為正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)作DE的中點(diǎn)F,連接OF,AF,由于O是DB的中點(diǎn),且OF∥BE,可知∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角;設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則,由于,AB=2AE,
可知,,則,又,∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==,故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.
試題解析:(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,                    3分
又ABCD為正方形,所以DB⊥AC,                        4分
所以DB⊥平面AEC,BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
(2)作DE的中點(diǎn)F,連接OF,AF,

∵O是DB的中點(diǎn),
∴OF∥BE,∴∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角。 8分
設(shè)正方形ABCD的邊長為2,
,     9分
,AB=2AE,
,,∴                  10分
,∴=,∴∠FOA==
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為 12分.
考點(diǎn):1.直線與平面垂直的判定定理,平面與平面垂直的判定定理;2.異面直線成角;3.余弦定理的推論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=A1A,D為C1C的中點(diǎn),O為A1B與AB1的交點(diǎn).
 
(1)求證:AB1⊥平面A1BD;
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(1)求證:平面
(2)求證:;
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(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試問:在線段上是否存在一點(diǎn),使得平面平面?若存在,試指出點(diǎn) 
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