Question

12．定義在R上的奇函數f（x）滿足f（2）=1，且f（x+2）=f（x）+f（2），求f（3）的值．

Answer 1

分析 根據題意，分析可得f（x+2）=f（x）+1，令x=1可得f（3）=f（1）+1，再令x=-1可得f（1）=f（-1）+1，進而結合函數為奇函數可得f（-1）=-f（1），即可得f（1）的值，將其代入f（3）=f（1）+1中，計算可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）滿足f（2）=1，且f（x+2）=f（x）+f（2），
則f（x+2）=f（x）+1，
當x=1時，有f（3）=f（1）+1，
當x=-1時，有f（1）=f（-1）+1，
又由函數為奇函數，則有f（-1）=-f（1），
解可得f（1）=$\frac{1}{2}$，
則f（3）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
故f（3）=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數奇偶性的應用，涉及函數求值的問題，關鍵要充分利用函數的奇偶性進行分析．