Question

3．如圖動(dòng)直線(xiàn)l：y=b與拋物線(xiàn)y²=4x交于點(diǎn)A，與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1交于拋物線(xiàn)右側(cè)的點(diǎn)B，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則|AF|+|BF|+|AB|的最大值為（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線(xiàn)的定義，求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出B的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化所求的距離為x的函數(shù)的關(guān)系式，然后求解最大值即可．

解答 解：直線(xiàn)l：y=b與拋物線(xiàn)y²=4x交于點(diǎn)A，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=b與x=-1的交點(diǎn)為D，由拋物線(xiàn)定義，可知AF=AD，|AF|+|BF|+|AB|的最大值，
就是BD+BF的最大值，F(xiàn)（1，0），設(shè)B（x，b），橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）．
可得$\frac{{x}^{2}}{2}+^{2}=1$，|AF|+|BF|+|AB|=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+^{2}}$=x+1+$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$
=x+1+$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}-2x+2}$=x+1+$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-x）$=1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），x∈（0，$\sqrt{2}$]．
當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，1+$\sqrt{2}$+x（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓以及拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)思想的應(yīng)用，是中檔題．