Question

4．如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，過點C的直線VC垂直于平面ABC，D、E分別為線段VA、VC上異于端點的點．
（1）當DE⊥平面VBC時，判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當D、E分別為線段VA、VC上的中點，且BC=1，CA=$\sqrt{3}$，VC=2時，求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）當DE⊥平面VBC時，DE⊥VC，推導出VC⊥AC，從而DE∥AC，由此能證明直線DE∥平面ABC．
（2）三棱錐A-BDE的體積為V_A-BDE=V_B-ADE，由此能求出三棱錐A-BDE的體積．

解答 解：（1）直線DE∥平面ABC．
證明如下：
∵VC?平面VBC，∴當DE⊥平面VBC，DE⊥VC，
∵AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，
∵VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，
∵AC?平面ABC，DE?平面ABC，
∴直線DE∥平面ABC．
（2）VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，
又BC⊥AC，在平面VAC內(nèi)，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，
∴三棱錐A-BDE的體積為V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}BC•{S}_{△ADE}$，
∵D，E分別是VA，VC上的中點，∴DE∥AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE⊥VC，S_△ADE=S_△CDE=$\frac{1}{2}DE•CE$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐A-BDE的體積V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}BC•{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查線面位置關(guān)系的判斷與證明，考查柱、錐、臺體的體積，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．