Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過橢圓的左焦點(diǎn)F₁作一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)
（1）求三角形ABF₂的周長；
（2）求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）三角形ABF₂的周長=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=2a+2a=4a．
（2）c=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=x+1．與橢圓方程聯(lián)立化為：9x²+10x-15=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）三角形ABF₂的周長=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=2a+2a=4a=4$\sqrt{5}$．
（2）c=$\sqrt{5-4}$=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=x+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：9x²+10x-15=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{10}{9}$，x₁x₂=-$\frac{15}{9}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（-\frac{10}{9}）^{2}-4×（-\frac{15}{9}）]}$=$\frac{16}{9}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．