Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，點(diǎn)M在線段EC上（除端點(diǎn)外）

（1）當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；

（2）若平面與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見；（2）

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線線垂直、線面平行、二面角、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，考查用空間向量法解立體問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力 第一問，取N為ED中點(diǎn)，利用中位線得，而，所以，所以ABMN為平行四邊形，所以，所以利用線面平行的判定可得∥平面；第二問，用向量法解題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDM和平面ABF的法向量，利用夾角公式求出，從而求出的值，即點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，所以利用等體積轉(zhuǎn)化法求三棱錐B DEM的體積

試題解析：（1）證明 取中點(diǎn)，連結(jié) 在△中，分別為的中點(diǎn)，

則∥，且 由已知∥，，

因此，∥，且 所以，四邊形為平行四邊形

于是，∥ 又因?yàn)?/span>平面，且平面，

所以∥平面 6分

（2）按如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合

設(shè)，則，又，設(shè)，則，即

設(shè)是平面的法向量，則

,

取，得，即得平面的一個(gè)法向量為 …… 10分

由題可知，是平面的一個(gè)法向量

因此，，

即點(diǎn)為中點(diǎn) 此時(shí)，，為三棱錐的高，

所以， ……… 12分

考點(diǎn)：1 線面平行的判定；2 向量法；3 三棱錐的體積