Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱

是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，并說明理由．

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），不是有界函數(shù)．

（2）．

【解析】試題分析：

（1）當時，，，利用換元法可得函數(shù)在的值域為，故不滿足有界函數(shù)的定義．（2）將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，分兩種情況利用分離參數(shù)的方法分別求出的取值范圍，然后取交集即可得到所求的范圍．

試題解析：

（1）當時，，．

設(shè)，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

∴函數(shù)的值域為，

∴在的值域為．

∴不存在常數(shù)，都有成立，

∴函數(shù)在不是有界函數(shù)．

（2）由題意知在上恒成立，

∴在恒成立．

①當在恒成立時，

令，

則由原不等式可得對恒成立，

設(shè)，，

由單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，

∴，

∴．

②當在恒成立時，

令，則由原不等式得對恒成立，

設(shè)，，

由函數(shù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞減，

∴，

∴.

綜上．

∴實數(shù)的取值范圍．