Question

設(shè)R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1，它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，若正數(shù)a、b滿足f（2a+b）＜1，則

b+2

a+2

的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• B、（-∞，

  1

  2

  ）∪（3，+∞）
• C、（

  1

  2

  ，3）
• D、（-∞，-3）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案．

解答： 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增
∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，
∴b，a滿足不等式

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，其對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分（不包括邊界）
∴

b+2

a+2

表示過點(diǎn)P（-2，-2）與區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)M連線的斜率
由圖知，當(dāng)點(diǎn)M在A時(shí)，

b+2

a+2

取到最大值為3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B時(shí)，

b+2

a+2

取到最小值
由于區(qū)域不包括邊界，故

b+2

a+2

的取值范圍是（

1

2

，3），
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．