Question

4．在極坐標(biāo)系中，P是曲線C₁：ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線C₂：ρ=12cos（θ-$\frac{π}{6}$）上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）求曲線C₁，C₂的平面直角坐標(biāo)方程并說明表示什么曲線；
（2）試求PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式兩邊同時(shí)乘ρ，結(jié)合公式ρ²=x²+y²，y=ρsinθ求得C₁的直角坐標(biāo)方程；展開兩角差的余弦，把已知等式兩邊同時(shí)乘ρ，結(jié)合公式ρ²=x²+y²，x=ρcosx，y=ρsinθ求得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy．
由ρ=12sinθ，得ρ²=12ρsinθ，得x²+y²=12y，即x²+（y-6）²=36，
∴C₁表示圓心為（0，6），半徑為6的圓．
由ρ=12cos（θ-$\frac{π}{6}$），得$ρ=12（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$
=$6\sqrt{3}cosθ+6sinθ$，
∴${ρ}^{2}=6\sqrt{3}ρcosθ+6ρsinθ$，即${x}^{2}+{y}^{2}-6\sqrt{3}x-6y=0$，
則（x-3$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=36，
∴C₂表示以（3$\sqrt{3}$，3）為圓心，6為半徑的圓．
（2）由圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)P、Q所在直線為連心線所在直線時(shí)，PQ長度可取最大值，且最大值為$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$+6+6=18．

點(diǎn)評 本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查兩圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．