設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
MN
AB

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E;
(2)若直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且滿(mǎn)足
OP
OQ
=0
,求實(shí)數(shù)b的取值.
分析:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y ),則點(diǎn)M  (
x
3
,
y
3
 ),由
MN
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標(biāo)等于
x
3
,又N在AB的中垂線(xiàn)上,故縱坐標(biāo)等于 0.由于 NA=NC,可得
(
x
3
)
2
+1
=
(
x
3
-x)
2
+y2
,化簡(jiǎn)可得軌跡方程,從而得到軌跡.
(2)把直線(xiàn)y=x+b代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)可得  4x2+6bx+3b2-3=0,由
OP
OQ
=0
 可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入求出b值.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y ),則 點(diǎn)M (
0+0+x
3
,
1-1+y
3
 ),即 點(diǎn)M  (
x
3
,
y
3
 ),
MN
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標(biāo)等于
x
3
,又N在AB的中垂線(xiàn)上,故縱坐標(biāo)等于 0.
由于N是不等邊△ABC的外心,∴NA=NC,∴
(
x
3
)
2
+1
=
(
x
3
-x)
2
+y2

化簡(jiǎn)可得 
x2
3
+y2= 1
,xy≠0,故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓,去掉其頂點(diǎn).
(2)把直線(xiàn)y=x+b代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)可得  4x2+6bx+3b2-3=0.由題意可得,b≠0,b≠±1,
且△=36b2-16( 3b2-3)>0,x1+x2=
-3b
2
,x1•x2=
3b2-3
4

OP
OQ
=0
 可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0.
∴2•
3b2-3
4
+b•(
-3b
2
 )+b2=0,解得 b2=
3
2
,∴b=±
6
2
點(diǎn)評(píng):本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法,直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系,判斷軌跡E的形狀,是階梯的易錯(cuò)點(diǎn).
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設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1)、B(0,-1),且

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E

(2)若直線(xiàn)y=kx+b與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知,且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E;
(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿(mǎn)分12分)

設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知、,且.

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E;

(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

 

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設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E;
(2)若直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)b的取值.

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