Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分別為棱PD，PC的中點．求證：
（1）MN∥平面PAB
（2）AM⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）推導出MN∥DC，AB∥DC．從而MN∥AB，由此能證明MN∥平面PAB．
（2）推導出AM⊥PD，CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，進而CD⊥AM，由此能證明AM⊥平面PCD．

解答 證明：（1）因為M、N分別為PD、PC的中點，
所以MN∥DC，又因為底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC．所以MN∥AB，
又AB?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
（2）因為AP=AD，P為PD的中點，所以AM⊥PD．
因為平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM?平面PAD，所以CD⊥AM．
因為CD、PD?平面PCD，CD∩PD=D，
∴AM⊥平面PCD．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．