Question

12．已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x） 的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是①③⑤．（寫出所有正確的序號(hào)）
①f（x）=x²
②f（x）=e^-x
③f（x）=lnx
④f（x）=2+sinx
⑤f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使f（x）=f′（x），如果有解，則存在存在“巧值點(diǎn)”．

解答 解：①中的函數(shù)f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，
解得x=0或2，∴函數(shù)有巧值點(diǎn)，故①正確；
②若f（x）=e^-x；則f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程無(wú)解，②不符合要求；
③中的函數(shù)，f （x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，要使f（x）=f′（x），則lnx=$\frac{1}{x}$，
由函數(shù)f（x）=lnx與y=$\frac{1}{x}$的圖象它們有交點(diǎn)，因此方程有解，∴函數(shù)有巧值點(diǎn)，故③正確；
④若f（x）=2+sinx，則f′（x）=-cosx，
若f（x）=f′（x），則2+sinx=-cosx，
即sinx+cosx=-2，
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則sinx+cosx=-2無(wú)解，故④不滿足條件．
⑤中的函數(shù)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，要使f（x）=f′（x），
則x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點(diǎn)，原函數(shù)有巧值點(diǎn)，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)是否存在“巧值點(diǎn)”的判斷，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．