Question

已知函數(shù)f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna（x＞0），其中a是正常數(shù)．若f′（1）=g′（

1

2

），求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：需求函數(shù)f（x）與g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再由f′（1）=g′（

1

2

）可求出答案．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna（x＞0）
知函數(shù)f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

，g′（x）=-（4-

1

x2

）lna，
則f′（1）=5-（4a+

1

a

），g′（

1

2

）=0，
又由f′（1）=g′（

1

2

），則5-（4a+

1

a

）=0，
解得a=1或a=

1

4

，
故a的值為1或

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式與函數(shù)解析式的求解方法以及常用函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征．